Umrechnen einer Gleitkommazahl in die Gleitkommadarstellung
Die Dezimalzahl 18,4 soll in die binäre Gleitkommadarstellung umgerechnet werden. Der Ablauf besteht in der Regel aus 6 Schritten. Die Reihenfolge der einzelnen Schritte oder gesonderten Teilschritte kann auch anders erfolgen.
Prinzipiell besteht der Ablauf daraus, die Zahl umzurechnen, zu normalisieren, den neuen Exponenten zu ermitteln, das Vorzeichen zu bilden und anschließend die Werte Vorzeichen, Charakteristik (Exponent) und Mantisse zusammen zu setzen.
1. Vorkommazahl umrechnen
Im ersten Schritt wird für die Vorkommazahl 18 die Dualzahl ermittelt. Hier wird das Teiler- bzw. Divisions-Verfahren angewendet.
2. Nachkommazahl umrechnen
Im zweiten Schritt wird für die Nachkommazahl 0,4 die Dualzahl ermittelt. Dabei wird die Multiplikationsmethode angewendet.
Als Zwischenergebnis entsteht eine duale gebrochene Zahl.
Ergebnis aus Schritt 1 und 2: 18,4 = 10010,011001100110011001101100100...
3. Normieren bzw. Normalisieren (Mantisse ermitteln)
Bei der Normalisierung verschiebt man das Komma so, das man eine normalisierte Zahl erhält. Zum Beispiel 1,0101 (2) oder 0,123 (10). Dabei greift man auf die Exponentialdarstellung zurück, damit die Zahl ihren Wert behält.
10010,01100110011... * 20
1,001001100110011... * 24 (Normalisierung)
Bei der Normalisierung geht es darum, dass man nur die Nachkommastellen speichern möchte. Bei der binären Darstellung von Zahlen steht vorne immer eine Eins (1). Diese Vorkomma-Eins kann man beim Speichern bzw. bei der Darstellung weglassen (hidden bit), weil hier immer eine Eins steht. Dafür hat man hinten eine Stelle mehr für die Genauigkeit.
4. Exponent umrechnen (Charakteristik ermitteln)
Der Exponent wird auch als Charakteristik bezeichnet, weil sein Wertebereich verschoben ist (Bias). Das macht man deshalb, damit der Exponent immer positiv oder mindestens Null ist. Dadurch spart man sich ein Bit für Darstellung des Vorzeichens des Exponenten. Die Bias-Darstellung erleichtert auch den Größenvergleich. Nachteil, es gibt eine positive Null (+0) und eine negative Null (-0).
Seltene Alternativen sind auch das Zweierkomplement und das Einerkomplement.
Der Bias oder Exzess hängt von der gewählten Genauigkeit (Anzahl der Bits) ab.
- Einfach Genauigkeit (32 Bit) bedeutet einen Bias von 127.
- Doppelte Genauigkeit (64 Bit) bedeutet einen Bias von 1023.
Da wir mit einer einfachen Genauigkeit (32 Bit) arbeiten entspricht das einem Bias von 127.
Charakteristik (neuer Exponent) = Exponent + Bias = 4 + 127 = 131
5. Vorzeichen bestimmen
- Positiv = 0
- Negativ = 1
6. Gleitkommazahl bilden (mit einfacher Genauigkeit)
